在谈函数不动点问题在数列通项公式的应用推导: 转换等比数列

若f(x)=x,存在x=a,使得 f(a)=a,则a 叫做f(x)的不动点, 那么就等价于

f(a)-a= f(x)-x=(x-a).C=0 ,即a是f(x)-x=0方程的解,一般高中数学当中,a为实数,C为待定项.

数列的定义: 一般来讲数列 An的通项公式表示为:两种方式.

1.An=f(An-1) , An与An-1的函数表达式 ,An与An-1或Ai存在递推关系.

2. 求通项 An=g(n) ,An只与项数n相关的函数表达式g(n)

一: An=f(An-1)几个性质

设x为An=f(An-1)的一个不动点,即 f(x)-x=0=f(a)-a=(x-a).C,代入得到:

f(An-1)-An-1=An-An-1=( An-1-a).C

An=An-1+(An-1-a).C1

An-1= An-2+(An-2-a)*C2

An-a.An-1=An-1-a.An-2+ (An-1-a).C1- (An-2-a)a*C2

即: An-aAn-1= ( An-1-a.An-2)+(An-1-a- An-2+a*a)C2

An-aAn-1=(1+C1-C2)(An-1-aAn-2)+(-aC1+a*aC2)

即 An-a.An-1=(C1-C2+1) (An-1-a.An-2) +a(aC2-C1).........(1)

令a(aC2-C1)=0,即: C2/C1=1/a, 则(1) 成等比数列的形式.

C2-C1=(1/a-1).C, q=((1/a-1)C1+1)

2. An-a= K(An-1-a) 也成等差数列,具体可以证明 (这里略)